Grading of affine Weyl semi-groups of Kac-Moody type

Graduation des semi-groupes de Weyl affine de type Kac-Moody

Paul Philippe (1, 2, 3)

1 ICJ - Institut Camille Jordan
2 UJM - Université Jean Monnet - Saint-Étienne
3 AGL - Algèbre, géométrie, logique

For any Kac-Moody root data D. Muthiah and D. Orr have defined a partial order and a compatible length on its affine Weyl semi-group, which is the semi-direct product of its integral Tits cone and its vectorial Weyl group. This semi-group, and its combinatorics, arise in the study of Kac-Moody groups over discretely valued fields. We classify covers for this order and show that the length function defines a Z-grading of the affine Weyl semi-group , generalizing the case of affine ADE root systems and giving a positive answer to a conjecture of Muthiah and Orr.

Pour tout système de racines de type Kac-Moody, D. Muthiah et D. Orr ont défini un ordre partiel et une longueur compatible sur son semi-groupe de Weyl affine, qui est le produit semi-direct de son cône de Tits entier avec son groupe de Weyl vectoriel. Ce semi-groupe, et sa structure combinatoire, apparaîssent dans l'étude des groupes de Kac-Moody sur des corps discrètement valué. Ici, nous classifions les recouvrement pour cet ordre et nous montrons que la longueur définit une graduation du semi-groupe de Weyl affine, ce qui avait été conjecturé, et montré dans le cas ADE affine, par Muthiah et Orr.

Mots clés: Kac-Moody groups; Coxeter systems; Bruhat order; Hecke algebras; Weyl groups; Root systems

Domaines: Mathématiques [math]

Paul Philippe. Grading of affine Weyl semi-groups of Kac-Moody type. 2023. ⟨hal-04123289v1⟩